Временная стоимость денег. Операции наращения и дисконтирования.

Простые и сложные проценты.

Финансовые ренты.

Одним из ключевых понятий в финансовом управлении является понятие денежного потока как совокупности притоков и оттоков денежных средств, имеющих место через разные временные интервалы. При анализе денежных потоков в большинстве случаев его элементы не могут быть просуммированы непосредственно: должна быть учтена временная компонента.

Все денежные ресурсы, участвующие в финансовых операциях, имеют временную ценность: одна денежная единица, имеющаяся в данный момент времени, более предпочтительна, чем та же самая денежная единица, но ожидаемая к получению в некотором будущем.

Среди факторов, лежащих в основе временной стоимости денег, выделяют: инфляцию, риски, альтернативную стоимость капитала, индивидуальные предпочтения инвесторов.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV.

PV (Present Value) – стоимость в настоящий момент или сегодняшняя, дисконтированная, приведенная, текущая, настоящая стоимость.

FV (Future Value) – будущая или наращенная стоимость.

Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко. Во-первых, с помощью абсолютного показателя – прироста I = FV - PV, который называется процентными деньгами или процентом. Это величина дохода от предоставления в долг денежной суммы. Из определения процентных денег следует: FV = PV + I.

Во-вторых, путем расчета некоторого относительного показателя – ставки. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV, либо FV. Таким образом, ставка за время t рассчитывается по одной из двух формул:

В первом случае показатель называется «процентная ставка», «ставка процента», «рост», «норма прибыли», «доходность», а во втором – «учетная ставка» или «дисконт».

Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е., зная один показатель, можно рассчитать другой:

Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1) – исходная сумма, в формуле (2) – возвращаемая (ожидаемая сумма).

Кроме перечисленных показателей часто используют величину, называемую дисконт - фактором:

v t = PV / FV. (4)

Он показывает, какую часть сумма PV составляет в сумме FV.

Удобной и наглядной характеристикой (особенно при оценке вклада) является индекс роста B t суммы за время t:

B t = FV / PV. (5)

Он показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма за время t.

Пример. Сумма PV = 2 тыс. руб. за полтора года выросла до FV = 4,6 тыс. руб. Вычислить

процентную и учетную ставку, индекс роста, дисконт-фактор.

Решение: 1) Из формулы (1) r t = (4,6-2) / 2 = 1,3 или 130%

2) Из формулы (2) d t = (4,6-2) / 4,6 = 0,57 или 57%

3) Из формулы (4) v t = 2 / 4,6 = 0,43

4) Из формулы (5) B t = 4,6 / 2 = 2,3

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина называется наращенной суммой, а ставка – ставкой наращения.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина называется приведенной суммой, а ставка – ставкой дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему.

Настоящее Будущее

Исходная сумма наращение Возвращаемая (наращенная)

Ставка (r t) сумма

Приведенная сумма Ожидаемая сумма

дисконтирование Ставка (d t)

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы (1) следует:

FV = PV (1 + r t). (6) – процесс наращения (прямая задача).

Соответственно: PV = FV / (1+ r t) – обратная задача

Из формулы (2) следует:

PV = FV (1 – d t). (7) – процесс дисконтирования (прямая задача).

Соответственно: FV = PV / (1-d) – обратная задача.

Следует отметить, что в качестве ставки наращения может выступать как процентная, так и учетная ставка. Если наращенная сумма находится по формуле (6), то ставкой наращения является процентная ставка. С другой стороны, из формулы (7) следует: FV = PV / (1-d), поэтому в этом случае ставкой наращения является учетная ставка.

Как уже было сказано, движение денежных средств от будущего к настоящему носит название дисконтирования. Говорят, что капитал FV дисконтируется, а величину удержанных процентов называют дисконтом. Таким образом, дисконтирование является процессом, обратным наращению первоначального капитала. Экономический смысл дисконтирования заключается в нахождении такой величины капитала PV, которая через n лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна FV.

Пример: Предприятие получило кредит на один год в размере 50 тыс. руб. с условием

возврата 80 тыс. руб. Найти процентную и учетную ставки. Если предприятие за

взятый кредит через год должно вернуть 90 тыс. руб., то при учетной ставке 40%

найти величину кредита.

Решение: 1) r t = (80 – 50) / 50 = 0.6 (60%)

2) d t = (80 – 50) / 80 = 0.375 (37,5%)

3) Применяем формулу дисконтирования (7): PV = 90 (1 – 0.4) = 54

Простые и сложные проценты.

Для начисления процентов применяют либо постоянную базу начисления, либо последовательно изменяющуюся (за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют схему начисления по простому проценту.

Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность – r (в десятичных дробях). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если капитал ежегодно увеличивается на величину Рr. Таким образом, размер F инвестируемого капитала через n лет будет равен:

F = P + Pr + ….. Pr = P (1+nr), т.е.

F = P (1 + nr). (8)

Расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает одни и те же процентные деньги.

Выражение (8) называется формулой наращения по простым процентам, а множитель (1+nr) – множителем наращения или коэффициентом наращения простых процентов.

Приращение капитала I = Pnr (9) пропорционально сроку ссуды и ставке процента.

В случае долгосрочного финансирования процентная ставка может изменяться во времени. Особенно важно предусмотреть в кредитном договоре не фиксированную, а меняющуюся процентную ставку (например, в условиях инфляции). Тогда формула (9) будет записана следующим образом:

F = P (1 + n 1 r 1 + n 2 r 2 + …. n i r i). (8a).

Если n<1, то величину срока, на который выдается кредит, выражают в виде дроби: n = t / Д год,

где t – число дней пользования ссудой, Д год – число дней в году (временная база).

Таким образом, в случае краткосрочного кредитования формула (8) будет записана так:

F = P (1+ (t / Д год) r). (8в).

В практике определения суммы процентных денег используется и такой вариант, когда база для начисления процентов не остается постоянной, а увеличивается с течением времени, т.е. проценты не выплачиваются сразу после их начисления а присоединяются к основной сумме долга и на вновь полученную сумму начисляются проценты. Пусть проценты за весь период начисляются по постоянной ставке r. В этом случае процесс наращения денег происходит по геометрической прогрессии и равен:

F = P (1 + r) n . (10)

Расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает процентные деньги от всей накопленной суммы долга (с учетом процентных денег).

Выражение (10) называют формулой наращения по сложным процентам, а величину (1 + r) n – множителем наращения сложных процентов.

Если в кредитном договоре на определенные периоды оговорены меняющиеся процентные ставки, формула наращенной суммы при использовании сложной процентной ставки будет иметь вид:

F = P (1 + r 1) n1 (1 + r 2) n2 ……(1 + r i) ni (10a).

Проиллюстрировать понятие сложных процентов можно на примере следующей ситуации. Предположим, что клиент банка на основании соглашения с банком поместил в начале года на депозитный счет сумму Р на срок один год при условии начисления простых процентов с годовой процентной ставкой r. В соответствии с формулой (8) по истечении года на счете образуется сумма P (1+r), которую клиент снимает со счета и снова помещает на депозит с теми же условиями (реинвестирует сумму вместе с процентными деньгами). При этом по истечении второго года на счете образуется сумма P (1 + r) 2 , по истечении третьего года - сумма P (1 + r) 3 и т.д. Таким образом, при инвестировании (капитализации) происходит наращение суммы депозита по схеме сложных процентов.

Схема начисления сложных процентов была введена для того, чтобы не усложнять жизнь клиентов и работу банков процедурой регулярного снятия с депозитного счета и размещения на депозитном счете одной и той же денежной суммы.

Пример: Пусть Р = 10000, r = 10%, n 1 = 0.5, n 2 = 1, n 3 = 1,5. Какова будет плата за кредит

при расчете по схеме простых и сложных процентов? Какая из схем начисления

более выгодна кредитору?

Решение: 1) Рассчитаем сумму, подлежащую возврату, по схеме простых процентов.

F = P (1 + nr)

F 1 = 10000 (1 + 0.5*0.1) = 10500

F 2 = 10000 (1 + 1*0.1) = 11000

F 3 = 10000 (1 + 1.5*0.1) = 11500

2) Рассчитаем сумму, подлежащую возврату, по схеме сложных процентов:

F = P (1 + r) n

F 1 = 10000 (1 + 0.1) 0.5 = 10488

F 2 = 10000 (1 + 0.1) 1 = 11000

F 3 = 10000 (1 + 0.1) 1.5 = 11537

Вывод: В случае, когда кредитор выдает деньги в долг на срок 1 год, расчеты по схемам простых и сложных процентов приводят к одному и тому же результату.

Если срок возврата долга превышает один год, то расчет по схеме сложных процентов более выгоден кредитору. Если срок возврата долга меньше одного года, то расчет по схеме простых процентов более выгоден заемщику.

Ни одна из схем начисления процентов не является универсальной и пригодной и пригодной на все случаи жизни, т.е. нельзя определенно и однозначно отдавать приоритет той или иной схеме – все зависит от конкретных обстоятельств.

Внутригодовые процентные начисления. В банковской практике капитализация процентов может производиться несколько раз в год – ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям и т.д. Число раз начислений процентов обычно фиксируется в условиях финансового соглашения. Такое кратное наращение возможно только в схеме сложного процента. Обозначим это число m (показывает, сколько раз в течение года происходит начисление процентов: m = 2 – два раза в год, m = 12 – ежемесячно и т.д.). Тогда формула наращенного капитала за n лет при m-кратном начислении процентов в год примет вид:

F = P (1 + r / m) nm . (11),

где nm –количество периодов начисления процентов за n лет.

Пример: В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением

процентов под 20% годовых. Найти наращенный капитал. Изменится ли величина

капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться

ежеквартально?

Решение: Из формулы (11) F = 5000 (1+0,2/2) 2*2 = 7320,5 (при m = 2)

При m = 4: F = 5000 (1+0,2/4) 2*4 = 7387,3

Для сравнения финансовых операций с различными величинами процентных ставок и разной кратностью начисления процентов применяется эффективная ставка r ef . Это годовая ставка сложных процентов (т.е. начисляемая за год лишь один раз), которая обеспечивает тот же финансовый результат, что и начисление сложных процентов несколько раз в году (r / m).

Определяется по формуле:

r ef = (1+ r / m) m – 1. (12)

В отличие от эффективной ставки первоначальная ставка с m-кратным начислением называется номинальной.

Пример: Предприниматель может получить ссуду по ставке 26% годовых с ежемесячным

начислением процентов или по ставке 27% годовых с начислением процентов два

раза в год. Какой вариант более предпочтителен для предпринимателя?

Решение: Рассчитаем эффективную ставку по формуле (12) для обоих вариантов.

1) r ef = (1+0,26/12) 12 – 1 = 0,2933 или 29,33%

2) r ef = (1+0,27/2) 2 – 1 = 0,2882 или 28,82%

Вывод: для предпринимателя более выгодным является второй вариант, т.к. процентная

ставка получилась ниже.

Открывая банковский вклад нужно обращать внимание не только на размер процентной ставки, но и на вид начисления процентов. Бывает простое начисление процентов и сложное. В этой статье мы разберем разницу между видом начисления процентной ставки, а также определим в чем выгода того или иного способа начисления.

В чем разница между простыми и сложными процентами?

Обычно банки предлагают простое начисление процентов. Что это значит? Это значит, что проценты будут начислены на ваш вклад только в конце срока. Т.е. допустив вы открыли вклад под 10% годовых и вложили 10 000 рублей. Через год вам будет начислено в виде процентов 1 000 рублей. Если вы оставите вклад на второй год, то по истечении этого срока вам будет начислена еще 1 000 рублей.

За 2 года, при простом начислении процентов ваша итоговая сумму составит: 12 000 рублей.

Если бы было сложное начисление процентов, то картина немного меняется. Через 1 год, на вашем счету также было бы 11 000 рублей (10 000 — ваш вклад + 1 000 рублей в виде процентов).

Однако, эта начисленная тысяча, в конце первого периода присоединилась бы к основному телу депозиту. И все проценты уже начислялись бы на эту общую сумму. Т.е. вы на второй год получили бы 10%, только уже не с 10 000 рублей, а с 11 тысяч. В деньгах это получается — 1 100 рублей.

Итого, за 2 года при сложном начислении ваша сумма составит: 12 100 рублей

Думаю, нет смысла объяснять, что вы выберите: 12 000 или 12 100 рублей. К тому же дополнительным преимуществом сложным процентов является тот факт, что они также входят в . Т.е. если у банка отзывают лицензию, то все начисленные проценты также подлежат возврату вкладчику.

При простом начислении, деньги выплачиваются только в конце срока, т.е. по факту они не были начислены, даже если до окончания вашего вклада оставался только один день! И в данном случае вы имеете право на возврат только основного капитала.

Особенно привлекательным становиться вклад с ежемесячной или ежеквартальной капитализацией процентов. Чем ниже период капитализации по вкладу, тем более высокий доход он дает. Дело тут в кумулятивном эффекте. Когда на начисленные проценты в виде прибыли также начисляется прибыль. Иногда сложные проценты называют процентами с учетом реинвестирования или капитализации . Обращайте на это внимание когда заключаете договор с банком. Если в договоре сказано, что проценты начисляются в конце срока вклада, то речь идет о простом начислении процентов.

Банки не очень часто предлагаю . Даже если проценты начисляются ежемесячно или ежеквартально, банки предпочитают не использовать полученную прибыль для начисления на них дополнительных процентов, а перечисляют на отдельный счет. Дело здесь, как было указано выше, в эффекте рефинансирования, когда эффективная процентная ставка за счет капитализации будет выше, первоначально заявленной банком.

Пример. При номинальной ставке в 9% годовых, реальная эффективная ставка с учетом реинвестирования составила бы 9,4% годовых. При 10% этот показатель вырос бы до 10,5%, а при 11% — до 11,6%.

Банки обычно указывают номинальную процентную ставку, поскольку эффективная процентная ставка при условии снятия процентов может и не случиться.

Формула расчета сложного процента по вкладам в банках

Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:

S=K * (1+r/t)™

K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,

r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12

t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12

ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.

S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.

Пример.

Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы несли 10 000 рублей.

Какая сумма будет у вас в конце срока?

K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8

Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.

Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.

Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начисление, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.

Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если измениться сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты « «.

Поэтому, при , обращайте внимание на вид начисление процентов.

Известны две основные схемы дискретного начисления процентов за фиксированные в договоре интервалы времени: схема простых процентов (simple interest) и схема сложных процентов (compound interest).

Простые проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы Р, увеличивающейся за определенный срок (единичный промежуток начисления Т=1) на некоторый процент (по ставке r, представленной в виде дроби) от начальной суммы P, т.е. на rP. Последовательность наращенных сумм P, F 1 , F 2 , …, F n за n промежутков начисления представляет собой арифметическую прогрессию с начальным членом P и разностью rP. Таким образом, к концу n-го промежутка начисления наращенная сумма рассчитывается по формуле: F=P +Pr +Pr+…+Pr=P +Prn, и следовательно,

F n = P(1+nr) (1).

(1+nr) – называют множителем наращения. Если ставка r измеряется в процентах, то для ее представления в виде дроби следует r поделить на 100.

Наращение по простым процентам применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты применяют при выдаче краткосрочных ссуд (срок до одного года с однократным начислением процентов).

Сложные проценты представляют собой величину прирастания определенной суммы, увеличивающейся за определенный срок (единичный промежуток начисления) на некоторый процент с учетом получения процентов на проценты. Таким образом, каждая следующая сумма при наращении сложных процентов по ставке r возрастает на долю r от предыдущей и рассчитывается по формуле:

F n =P(1+ r) n . (2)

Последовательность наращенных сумм P, F 1 , F 2 , …, F n за n промежутков начисления представляет собой геометрическую прогрессию с начальным членом P и знаменателем прогрессии (1+r).

Процентные деньги (проценты) – это величина дохода,
равная Д n =F n -P (3), т.е. разности между наращенной суммой и начальной.

Норма процента рассчитывается по формуле (4):

Правило 72 . Если процентная ставка есть a, то удвоение капитала по такой ставке происходит примерно за 72/a лет. Это правило применяется для небольших ставок, вычисляемых по сложным процентам.

При выводе формул 1, 2 предполагалось, что n измеряется в годах, а r является годовой процентной ставкой. Эту формулы можно применить и при других периодах начисления. Необходимо только следить за соответствием длины периода и процентной ставки (размерность каждого периода n k должна быть согласована с размерностью процентной ставки r k .

В том случае, когда сложные проценты начисляются m-раз в году, а наращение капитала происходит за n лет, где n – целое число, формула нахождения наращенной суммы примет следующий вид:

(5).

Можно сделать некоторые выводы для сложных процентов:

Ø Проценты, полученные за год по ставке r не эквивалентны процентам, полученным за год по ставке r/12 в месяц;

Ø чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

Для облегчения расчетов составлены таблицы мультиплицирующих множителей , которые показывают, во сколько раз возрастет за n лет сумма, положенная в банк под r процентов годовых: FM(n,r)=(1+r) n . Величина FM(n,r) есть будущая стоимость одной денежной единицы (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.)– через n лет при ставке процента r.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

Ø По схеме сложных процентов

Ø По смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов для дробной части года):

В том случае, когда продолжительность финансовой операции рассчитывается в днях, однозначного определения процента и других параметров финансовой операции нет. Решение будет зависеть от того, как рассчитывается продолжительность года и продолжительность периода финансовой операции.

Таким образом, существует два варианта процентов: точный процент и обыкновенный процент.

При расчете точного процента (exact interest) берется точное число дней в году (365, 366), в квартале (89 – 92), в месяце (28 – 31).

При расчете обыкновенного процента (ordinary) берется приближенное число дней в году (360), в квартале (90), в месяце (30).

Продолжительность периода финансовой операции (например, ссуды) исчисляется также двумя способами: расчет по дням (берется точное число дней) и расчет с приближенным числом дней в месяце (30).

Следовательно, можно выделить три способа расчета процентов:

I. Обыкновенный процент с приближенным числом дней (360/360). Такой способ расчета практикуется в Германии, Дании, Швеции.

II. Обыкновенный процент с точным числом дней (365/360 или АСТ/360). Такой способ расчета практикуется в Бельгии и Франции.

III. Точный процент с точным числом дней (365/365 или АСТ/АСТ). Такой способ расчета практикуется в Великобритании и США.

В российской практике можно встретиться с различными схемами начисления процентов. Эффект от выбора зависит от суммы финансовой операции. Понятно, что использование обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды, как правило, дает больший результат, чем применение обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

Пример 1.1. Депозит в 200 тыс. руб. положен в банк на 4 года под 15% годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.

Решение. Применим формулу (2) и получим F 4 =200000 (1+0,15) 4 .

Пример 1.2. Годовая ставка простых процентов равна 8,3%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Решение. Обозначим начальную сумму через Р. Тогда Р*(1+n*0,083)³ 2Р, т.е. 1+n*0,083)³ 2, n³ 1/0,083. С точностью до целых – через тринадцать лет.

Пример 1.3. Пусть P=1000, r = 10%- сложные проценты. Найти наращенную сумму за за n=3 промежутка начисления.

Решение. Р=1000; F 1 =1000 (1+0,1) 1 =1100; F 2 ,=1100*1,1=1210; F 3 =1210*1,1=1331,1.

Пример 1.4. Годовая ставка сложных процентов равна r =8%. Через сколько лет начальная сумма удвоится?

Решение. Р(1+0,08) n ³2Р; (1+0,08) n ³ 2; n* ln(1,08)³ ln2;
n³ (ln(2)/ln(1,08))=9.

Пример 1.5. М.Е. Салтыков-Щедрин описывает в «Господах Головлевых» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой «на зубок» сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей».

Решение. В нашем примере нужно воспользоваться формулой сложных процентов, обозначив через х – искомый процент по вкладам (годовую ставку сложных процентов), и взяв n=50.

Получим: 800=100(1+х) 50 .

Логарифмируя с помощью таблицы логарифмов, получим решение следующим образом: lg800=lg100+50lg(1+x).

Антилогарифм 1+х=1,039. Тогда х=3,9%.

Пример 1.6. Чему равна будущая стоимость одной денежной единицы через 9 лет при ставке процента 10%.

Решение . Так как n=9, r=10%, то согласно таблице мультиплицирующих множителей М(9,10)=2,358.

Пример 1.7. Предоставлена ссуда в размере 7 тыс. руб. 10 февраля с погашением 10 июня под 20% годовых (простая ставка, год не високосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению F.

Решение .

1. Подсчитаем точное число дней, которые берется в расчет при выплате процентов. По табл. 161-41=120 (дней)

2. Подсчитаем приближенное число дней ссуды: t= 18 дней февраля (59-41) + 90 дней (март-июнь) + 10 дней июня=118 дней.

3. АСТ/АСТ F=7 (1+120/365*0,2)=7460руб.

4. 360/360 F=7 (1+118/360*0,2)=7459руб.

5. 365/360 F=7 (1+120/360*0,2)=7467руб.

Пример 1.8. 14 марта в банк положили сумму 1000 у.е. до востребования под ставку 12% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1 сентября?

Решение. Однозначного решения нет. Выберем способ расчета 360/360, т.е. в году 360 дней, в месяце 30 дней.

1) Найдем, какую долю от года составляет промежуток времени, в течение которого вклад хранился в банке: t=(30 дней * 5 месяцев +17 дней) / 360. Дни считаем так: из порядкового номера последнего дня вычитается порядковый номер первого дня.

Пример 1.9. Пусть сумма начального вклада Р=750 у.е. наращивается по годовой ставке r=20%. Принятая схема начисления: по простым процентам. Подсчитать проценты за n=4 промежутков начисления (лет). Представить последовательность наращенных сумм за 4 года.

Решение . Так как под процентами (процентными деньгами) понимают величину дохода (приращение денег) I n = F n -P, то сначала найдем F n

F n – это наращенная за n лет сумма, которая находится по формуле F n =P + n´r´P=Р(1+nr), где r – дробное измерение ставки. Таким образом, F 4 =750(1+4´0,2)=750 1,8=1350.

Следовательно, I 4 = F 4 -P=1350-750=600 (у.е.) – процентные деньги за 4 года.

Последовательность наращенных сумм в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию: F 1 = Р(1+1´r)= 750(1+0,2)= 900; F 2 = Р(1+2´r)= 750(1+0,4)= 1050; F 3 = Р(1+3´r)= 750(1+0,6)= 1200; F 4 = Р(1+4´r)=750(1+0,8)=1350, каждый следующий элемент последовательности отличается от предыдущего на 150 у.е., т.е. приросты денежных сумм для любого периода составляют 150 у.е. –постоянную долю от первоначальной суммы Р=750 у.е.

Пример 1.10. Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 тыс. руб. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 10% годовых, на следующие 2 года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7%. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

Решение . Р=25, n 1 =1, n 2 =2, n 3 =3; i 1 =0,1; i 2 =0,104; i 3 =0,107. Тогда F 6 =25(1+0,1)(1+0,104) 2 (1+0,107) 3 =45,469 тыс.руб.

Пример 1.10. Семья положила Р=12 000 руб. на срочный вклад при срочной процентной ставке r=11% годовых (с учетом выплаты процентов на проценты). Сколько денег семья получит через два года, при условии, что в течение двух лет деньги сниматься со сберкнижки не будут?

Решение . Выплата процентов на проценты означает, что одна и та же ставка r начисляется для каждого следующего промежутка начисления на результат предыдущего начисления (наращенную сумму за предыдущий период начисления или, что т о же самое, на сумму, наращенную на начало данного периода начисления). По формуле сложных процентов наращенная сумма за n лет составит величину Fn= Р(1+r)n. Следовательно, в нашем случае при n=2 F2=Р(1+r)2=12000 (1+0,11)2=12000´1,112=1,2321´12000=14785,2

Пример 1.11. В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. Найти величину капитала через 2 года. Проанализировать, изменится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться ежеквартально?

Простые и сложные проценты

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые , при измененной - сложные процентные ставки.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.

Наращение по простой процентной ставке:

где S - наращенная сумма; P - первоначальная сумма, n - срок, r - ставка наращения (десятичная дробь).

Наращение по сложной процентной ставке:

, (2)

где j - сложная процентная ставка; n - число лет наращения, m - число начислений процентов в году.

Номинальная ставка - это годовая ставка сложных процентов при одноразовом начислении процентов в году по ставке j.

Эффективная ставка - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов в году по ставке .

Наращение по непрерывной процентной ставке:

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста (). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

, (3)

Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам.

Термин дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта. Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается , сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом , а удержанные проценты - дисконтом.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет . В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

, (4)

Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной - дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.

Ставка Прямая задача Обратная задача

r (6)

d .

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Определение срока ссуды и величины простой процентной ставки

Продолжительность срока ссуды в годах получим, решив уравнения (1) и (5) относительно n:

По этим же уравнениям можно определить и процентные ставки:

Определение срока платежа и сложных процентных ставок.

Продолжительность срока платежа в годах получим, решив уравнения (2) относительно n:

, (11)

Поэтому же уравнению можно определить и сложную процентную ставку:

, (12)

Продолжительность срока платежа в годах при наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста получим, решив уравнения (3) относительно n:

, (13)

Поэтому же уравнению можно определить и силе роста :

, (14)

Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты

Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. - называют потоки платежей .

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты - размер отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка .

По количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на годовые, P - срочные (P - количество выплат в году), непрерывные (много раз в году).

Обобщенные параметры потоков платежей

Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма -сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежей - сумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке j, то:

, (15)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом - как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

, (16)

где - дисконтный множитель по ставке j.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

(17)

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Годовая рента

В течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты - на первый член ренты начисляются (n-1) раз, на второй (n-2) и т.д.